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[線性代數] Basis (基)(基向量)

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基(basis) 是線性代數中的核心概念之一...

前言

基(basis) 是線性代數中的核心概念之一。基的概念起源於我們想要在一個向量空間中找到一組向量，使其能夠生成(span)整個空間，並且每個向量之間都是線性獨立(linear Independence)的。這一組向量集合可以用來表示空間中的任意向量，使得我們能夠對向量進行更簡單的操作和理解。

基廣泛應用於許多領域，如工程、物理、電腦科學和數據分析。在軟體工程中，特別是與計算和優化有關的應用中。

定義

設 V 為一個在域 F 裡的向量空間，設 I 是在 V 裡的 Basis 向量的索引的集合，一組向量 B={vi}i∈I⊆VB = \{v_i\}_{i \in I} \subseteq V 稱為 V 的 Basis

域 F 指的就是某一個數域，例如實數 R\mathbb{R} 或是複數 C\mathbb{C}

Linear Independence (線性無關)

存在有限個純量 ai​⊆F{a_i​}⊆F，對於每個在 BB 裡的子集 vi{v_i} 來說

∑i∈Iaivi=0⇒ai=0 for all i∈I.\sum_{i \in I} a_i v_i = 0 \Rightarrow a_i = 0 \text{ for all } i \in I.

Spanning Property (生成律)

存在有限個純量 bi​⊆F{b_i​}⊆F

v=∑i∈Ibivi.v = \sum_{i \in I} b_i v_i.

  • 線性無關: 對於所有在 I 裡的 i 來說，若 ai{a_i} 乘上 vi{v_i} 的結果加總 = 0 ，則所有的 ai{a_i} 都是 0
    • 白話文來講，對於這幾個 viv_i 來說，可以讓他們加總 = 0 的常量 aia_i 一定不能是 0 以外的任何數。
    • 反例: 對於集合 [(1,2),(2,4)][(1,2),(2,4)] 來說，存在 [-2, 1] 讓 −2(1,2)+1(2,4)=−6+6=0-2(1,2) + 1(2,4) = -6 + 6 = 0 ，則這時 ai≠0a_i \neq 0
    • 這邊的 0 指的是零向量 0v0_v
  • 生成律: 對於所有在 I 裡的 i 來說，在空間裡的任意一個向量 v∈V{v \in V}，必定可以用 bi{b_i} 乘上 vi{v_i} 的和來表示。
  • 代數解釋
    • FF: 某一個數域
    • VV: (vector space) 在 FF 裡的向量空間
    • v,v∈Vv , v \in V: (vector) 在 VV 裡的任意向量
    • II: 所有的基向量的索引集合
    • i,i∈Ii, i \in I: 任意的基向量索引
    • B=viB = v_i: 在 VV 裡的所有基向量

image.png

用以上的圖來舉例，[10−2011]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 任取兩個都可表示為這個二維空間的 Basis vector ，我們用 [0−211]\begin{bmatrix} 0 & -2\\ 1 & 1 \end{bmatrix} 驗證上面兩個定義

  1. 線性無關: 設常量 [a1,a2]=[0,0][a_1,a_2] = [0,0] ，0(0,1)+0(−2,1)=00(0,1) + 0(-2,1) = 0 ，而 [a1,a2][a_1,a_2] 在這裡只能是 0
  2. 生成率: 我們可以用這兩個基向量來表示 (1,0)(1,0) : −12(−2,1)+12(0,1)=(1,−12)+(0,12)=(1,0)-\frac{1}{2} (-2,1) + \frac{1}{2} (0,1) = (1,-\frac{1}{2}) + (0, \frac{1}{2}) = (1,0)

性質

  • 一個空間裡最少可以表示該空間的基向量總數就是該空間的維度
    • 二維空間 = 最少兩個基向量
    • 三維空間 = 最少三個基向量

應用

考慮以下問題：

設 VV 為 R3\mathbb{R}^3 空間，且有三個向量 v1=(1,0,0)\mathbf{v}_1 = (1, 0, 0)、v2=(0,1,0)\mathbf{v}_2 = (0, 1, 0)、v3=(0,0,1)\mathbf{v}_3 = (0, 0, 1)。證明 {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} 是 R3\mathbb{R}^3 的基底，並使用這組基底表示向量 w=(3,2,5)\mathbf{w} = (3, 2, 5)。

解答：

  1. {v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} 中的向量彼此獨立。
  2. 任意 R3\mathbb{R}^3 中的向量都可以表示為 a1v1+a2v2+a3v3a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + a_3\mathbf{v}_3，因此滿足生成性。
  3. 所以，這組向量是 R3\mathbb{R}^3 的基底。
  4. 對於 w=(3,2,5)\mathbf{w} = (3, 2, 5)，我們可以將其表示為：w=3v1+2v2+5v3\mathbf{w} = 3\mathbf{v}_1 + 2\mathbf{v}_2 + 5\mathbf{v}_3。